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Sono possibili diverse derivazioni dell'equazione di Black-Scholes. Nel loro lavoro originale del 1973, Black e Scholes costruiscono un portafoglio neutrale al rischio (approccio hedging, in cui cioè il rischio del portafoglio è reso nullo); approcci alternativi sono la derivazione sulla base di un portafoglio che replica il valore del titolo derivato, nonché una derivazione tramite l'approccio standard del fattore di sconto stocastico.

Una volta derivata l'equazione di Black-Scholes, la definizione di condizioni al contorno alternative consente di caratterizzare i diversi strumenti derivati. La soluzione dell'equazione è indipendente dalle condizioni al contorno e può essere ottenuta tramite il metodo della separazione delle variabili (utilizzato da Black e Scholes nel loro lavoro del 1973), oppure sfruttando la formula di Feynman-Kac, che consente di esprimere la soluzione come un valore atteso, aprendo così la via a soluzioni numeriche, ottenute tramite simulazione Monte Carlo.

Portafoglio neutrale al rischio (hedging argument)

Si consideri uno strumento derivato il cui prezzo è denotato da \ f(S_{t},t), dove \ S_{t} è il prezzo del sottostante; obiettivo dell'analisi è determinare le condizioni che devono essere soddisfatte da \ f(\cdot), sotto l'ipotesi di assenza di opportunità d'arbitraggio. Si ipotizza che il sottostante segua un processo di moto browniano geometrico, descritto tramite l'equazione differenziale stocastica:

\ dS=\mu Sdt + \sigma S dW_{t}

L'equazione costituisce propriamente il modello di Black-Scholes-Merton per il prezzo di un'attività finanziaria.

Si costruisce quindi un portafoglio fittizio:

\ \pi=f-\frac{\partial f}{\partial S}S

Si osservi che \ \partial f/\partial S altro non è che la Delta dello strumento derivato. Applicando il Lemma di Itō, si determina l'equazione differenziale stocastica che \ \pi deve soddisfare:

\ d\pi= df - \frac{\partial f}{\partial S}dS = \left(\frac{\partial f}{\partial S}\mu S + \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial S^{2}}\right)dt + \frac{\partial f}{\partial S}\sigma S dW_{t} - \frac{\partial f}{\partial S}\mu Sdt - \frac{\partial f}{\partial S}\sigma SdW_{t}

A questo punto, si impone che il portafoglio \ \pi sia privo di rischio su un intervallo di tempo infinitesimo; sotto l'ipotesi di assenza di opportunità di arbitraggio, ciò equivale a imporre:

\ d\pi=r\pi dt= r\left(f - \frac{\partial f}{\partial S}S\right)dt

Eguagliando le due relazioni così ottenute, si ottiene l'equazione di Black-Scholes:

\ rS\frac{\partial f}{\partial S} + \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial S^{2}}-rf=0

Si tratta di un'equazione alle derivate parziali parabolica; la relazione sopra dovrà essere soddisfatta, in assenza di opportunità d'arbitraggio, dal prezzo di un qualsiasi strumento derivato.