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In matematica, il lemma di Itō è usato nel calcolo stocastico al fine di computare il differenziale di una funzione di un particolare tipo di processo stocastico. Trova ampio impiego nella matematica finanziaria.

Il lemma è un'estensione dello sviluppo in serie di Taylor che si usa per funzioni deterministiche, ossia senza termine casuale, ed è applicabile per una funzione stocastica, ossia con un termine in dW. Tale termine non è un differenziale esatto e rappresenta la componente casuale di una variabile aleatoria. dW è l'abbreviazione che indica un processo di Wiener, usato per rappresentare il moto delle particelle nella teoria cinetica dei gas. In frazioni piccole a piacere della variabile temporale, una grandezza di questo tipo manifesta comunque un'elevata variabilità.

Dal lemma di Itō si ricava l'integrale di Itō, che estende e generalizza l'integrale di Riemann per funzioni stocastiche. Diversamente dall'integrale di Riemann, non ha un significato geometrico, non è un'area.

 

Enunciato del lemma

Sia x(t) un processo di Itō (o processo di Wiener generalizzato); in altre parole, x(t) soddisfa l'equazione differenziale stocastica:

dx(t) = a(x,t)dt + b(x,t)dW_{t}

Sia inoltre una funzione f, avente derivata seconda continua. Allora:

df(x(t),t)= \left(a(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}(b(x,t))^{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\right)dt+b(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}dW_{t}