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La base dello sviluppo dell'APT sta nel concetto di modello fattoriale lineare per i rendimenti attesi; un modello fattoriale lineare ipotizza in particolare che:

\ R_i = a_i + \sum_{k=1}^{K}b_{ik}f_k+\varepsilon_i,\quad i=1,\ldots,N

dove R_i denota il rendimento di un generico titolo, indicizzato da i=1,\ldots,N\ f_k, con k=1,\ldots,K è un insieme di fattori, ossia di variabili esogene che determinano l'evoluzione dei rendimenti. I coefficienti b_{ik} sono detti con voce inglese factor loadings\varepsilon_i è detto rischio idiosincratico, in quanto caratteristico del singolo titolo o rendimento. Si ipotizza in particolare che:

\ \mbox{E}[\varepsilon_i]=\mbox{E}[f_k]=\mbox{E}[\varepsilon_i\varepsilon_j]=\mbox{E}[\varepsilon_i f_k]=\mbox{E}[f_k f_l]=0
\mbox{E}[\varepsilon_i^2]=s_i^2<S^2<\infty\quad\mbox{E}[f_k^2]=1

Le ipotesi su \ \mbox{E}[f_k]\ \mbox{E}[f_k f_l] e \mbox{E}[f_k^2] sono innocue normalizzazioni, così come quelle su \mbox{E}[\varepsilon_i] e \mbox{E}[\varepsilon_i f_k]. Sono invece più restrittive le ipotesi che \varepsilon_i abbia varianza finita per ogni i (s_i^2<\infty), e che le componenti di rischio idiosincratico siano tra loro incorrelate (\mbox{E}[\varepsilon_i\varepsilon_j]=0): la prima ipotesi pone infatti una restrizione sulle distribuzioni di probabilità che si ammette siano seguite dai rendimenti dei titoli (soltanto quelle aventi il secondo momento finito); la seconda che la rischiosità di ciascun titolo possa essere isolata in una componente non correlata con quella degli altri titoli (ossia che ogni rendimento sia caratterizzato da una componente di rischio realmente idiosincratica). Da queste ipotesi segue che:

\mbox{E}[R_i]=a_i\quad \forall i

Il numero dei fattori f_k, e quali variabili economiche (o di altro tipo) essi rappresentino, ha scarsa importanza a questo punto (ha importanza molto maggiore, ovviamente, nelle applicazioni). In altre parole, il modello fattoriale lineare è una caratterizzazione puramente statistica del rendimento dei titoli, e non ha di per sé la pretesa di fornire alcuna spiegazione economica della loro evoluzione.

Arbitrage pricing theory

In uno storico contributo del 1976 Stephen Ross, a partire da un modello fattoriale lineare come quello proposto sopra, deriva l'Arbitrage Pricing Theory o APT.

Al fine di illustrare questo risultato, si definisca un portafoglio tramite un vettore \omega che in ogni componente indica l'investimento effettuato in ciascun titolo dell'economia. Dato un vettore di rendimenti attesi \ \mbox{E}[R] e la matrice varianze-covarianze associata \ \Omega si definisce dunque un'opportunità di arbitraggio asintoticauna successione di portafogli \left\{\omega_n\right\}_{n\in\mathbb{N}} tali che:

 \omega_n'\mathbf{1}=0\ \forall n
 \omega_n'\mbox{E}[R]\geq\delta>0\ \forall n
\lim_{n\rightarrow\infty}\omega_n'\Omega\omega_n=0

dove \mathbf{1} denota un vettore avente tutte le componenti uguali a 1. Le condizioni sopra implicano che ciascun portafoglio comporta un esborso di denaro nullo (le componenti di \omega_n possono anche essere negative, dunque questo non significa che non si abbia investimento), assicura un rendimento atteso strettamente positivo, e il portafoglio limite della successione ha varianza \omega_n'\Omega\omega_n nulla.

Il teorema di Ross afferma che, ipotizzando che valga un modello fattoriale lineare come quello presentato sopra, nell'ipotesi in cui non siano ammesse opportunità di arbitraggio asintotiche, esiste un insieme di premi per il rischio \lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_k tali che il rendimenti atteso di ciascun titolo a_i può essere espresso come:

\mbox{E}[R_i]=a_i=\lambda_0+\sum_{k=1}^K\lambda_kb_{ik}+v_i

dove:

\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}v_i^2=0.

v_i possono essere interpretati come errori di prezzo (o meglio, di determinazione del rendimento atteso): l'APT determina il rendimento atteso corretto per ciascun titolo, con un errore quadratico medio che tende a zero, al limite per N, il numero dei titoli scambiati nell'economia, che tende all'infinito.

Dimostrazione del teorema di Ross (1976)

Una regressione lineare dei rendimenti attesi \mbox{E}(R_i)=a_i sui b_{ik} e una costante consente di ottenere immediatamente \ \lambda_0,\ldots,\lambda_k nonché:

\ \mbox{E}(R_i)=\lambda_0+\sum_k\lambda_kb_{ik}+v_i

dove v_i denota il residuo della regressione. Per le proprietà della regressione lineare, si ha:

\sum_iv_i=\sum_iv_ib_{ik}=0\quad \forall k

Si costruisca ora un portafoglio avente pesi:

\ \omega_i=\frac{v_i}{\sqrt{N}||v||},\quad ||v||=\sqrt{\sum_iv_i^2}

Evidentemente il portafoglio prevede un esborso iniziale nullo (dal momento che \ \sum_iv_i=0); il rendimento atteso ad esso associato è:

\frac{\lambda_0\sum_i v_i+\sum_k\lambda_k\sum_i v_i b_{ik}+\sum_i v_i^2}{\sqrt{N}||v||}=\frac{||v||}{\sqrt{N}}

La varianza del rendimento del portafoglio è limitata superiormente come segue:

\mbox{var}(R)=\frac{\sum_iv_i^2\mbox{var}(\varepsilon_i)}{N||v||^2}\leq\frac{S^2}{N}

Poiché:

\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{S^2}{N}=0

al fine di evitare un'opportunità di arbitraggio asintotica è necessario imporre la seguente condizione sul rendimento atteso:

\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{||v||}{\sqrt{N}}=0\quad\Rightarrow\quad\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\sum_i v_i^2=0

con cui la dimostrazione del teorema è completa.