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Il Capital Asset Pricing Model (brevemente, CAPM) è un modello di equilibrio dei mercati finanziari, proposto da William Sharpe in uno storico contributo nel 1964, e indipendentemente sviluppato da Lintner (1965) e Mossin (1966). In breve, il CAPM stabilisce una relazione tra il rendimento di un titolo e la sua rischiosità, misurata tramite un unico fattore di rischio, detto beta. Il beta misura quanto il valore del titolo si muova in sintonia col mercato. Matematicamente, il beta è proporzionale alla covarianza tra rendimento del titolo e andamento del mercato; tale relazione è comunemente sintetizzata tramite la security market line, illustrata nel grafico. Il CAPM fruttò a Sharpe, insieme con M.M. Miller e H. Markowitz, il Premio Nobel per l'economia nel 1990. Esistono delle varianti al modello CAPM, note come modello ICAPM di Merton (che si basa su un'analisi multiperiodale) e il modello CCAPM.

 

 

Formulazioni del modello

La retta di sicurezza del mercato, che illustra la relazione tra rischio (beta) e rendimento atteso nel modello

Il nucleo del CAPM è una relazione attesa tra il rendimento di un qualsiasi titolo e il rendimento del portafoglio di mercato, che può essere espressa come:

\ \textrm{E}[r_{i}] = \beta_{im}\left(\textrm{E}[r_{m}]-r_{f}\right)+ r_{f}

dove \ r_{i},\ r_{m} sono il rendimento lordo del titolo in questione e del portafoglio di mercato, \ r_{f} è il rendimento lordo privo di rischio, e

\ \beta_{im}=\frac{\textrm{cov}(r_{i},r_{m})}{\textrm{var}(r_{m})}

Una formulazione alternativa è nota come zero-beta CAPM, e può essere scritta come:

\ \textrm{E}[r_{i}] - \textrm{E}[r_{0}] = \beta_{im}\left(\textrm{E}[r_{m}]-\textrm{E}[r_{0}]\right)

dove \ r_{0} denota il rendimento del portafoglio appartenente alla frontiera dei portafogli avente covarianza nulla con il portafoglio di mercato.

Derivazione del CAPM

La relazione sopra esposta può essere derivata supponendo che gli operatori di mercato siano caratterizzati da preferenze di tipo media-varianza, ossia che preferiscano un rendimento atteso maggiore e una varianza dei rendimenti minore, ceteris paribus. Sottolineando che si tratta soltanto di una delle possibili derivazioni del CAPM, oltretutto legata a ipotesi piuttosto forti e che il CAPM può essere ottenuto sotto condizioni molto meno restrittive, è possibile procedere osservando come questo porti a concludere che tutti gli operatori di mercato cerchino di massimizzare la Sharpe ratio (o information ratio) del loro portafoglio, pari a:
Stima del CAPM, Security Market Line e Capital Market Line per l'indice FTSE MIB tra il 1-10-2004 e il 1-10-2007 con dati mensili
\ SR=\frac{\textrm{E}(R_{P})-R_{f}}{\sigma_{P}}

dove \ \textrm{E}(R_{P})=\sum_{i}\omega_{i}\textrm{E}(R_{i}) denota il rendimento atteso lordo di un portafoglio che ricomprende titoli con rendimenti \ R_{i}, con pesi \ \omega_{i}\ R_{f} è il tasso d'interesse privo di rischio, e:

\ \sigma_{P}=\sqrt{\sum_{i}\omega_{i}^{2}\textrm{var}(R_{i})+ 2 \sum_{i,j>i}\omega_{i}\omega_{j}\textrm{cov}(R_{i},R_{j})}

è la deviazione standard (radice quadrata della varianza) del rendimento del portafoglio.

Ciascun operatore di mercato risolve quindi implicitamente un problema di ottimizzazione:

\ \max_{\{\omega_{i}\}_{i}}\frac{\textrm{E}(R_{P})-R_{f}}{\sigma_{P}}

Le condizioni del primo ordine per un massimo impongono, per ogni peso \ \omega_{i}:

\ \frac{\partial SR}{\partial\omega_{i}}=\frac{(\textrm{E}(R_{i})-R_{f})\sigma_{P}-\frac{1}{\sigma_{P}}\sum_{i}\omega_{i}(\textrm{E}(R_{i})-R_{f})}{\sigma_{P}^{2}}\left[\omega_{i}\textrm{var}(R_{i})+\sum_{i,j>i}\omega_{j}\textrm{cov}(R_{i},R_{j})\right]=0

Da cui si ottiene:

\ \textrm{E}(R_{i})-R_{f}-\eta\sum_{j}\omega_{j}\textrm{cov}(R_{i},R_{j})=0

dove \ \eta=\frac{1}{\sigma_{P}^{2}}\sum_{i}\omega_{i}(\textrm{E}(R_{i})-R_{f}).

Si consideri ora il rendimento del portafoglio di mercato \ R_{m}=\sum_{j}\omega_{j}R_{j}; è facile osservare che:

\ \textrm{cov}(R_{i},R_{m})=\textrm{E}\left[(R_{i}-\textrm{E}(R_{i}))\left(\sum_{j}\omega_{j}(R_{j}-\textrm{E}(R_{j}))\right)\right]=\sum_{j}\omega_{j}\textrm{cov}(R_{i},R_{j})

Ma allora:

\ \textrm{E}(R_{i})-R_{f}=\eta\textrm{cov}(R_{i},R_{m})

per qualunque titolo dell'economia. Questo vale anche per il portafoglio di mercato, per cui:

\ \textrm{E}(R_{m})-R_{f}=\eta\textrm{cov}(R_{m},R_{m})=\eta\textrm{var}(R_{m})

Dunque, sfruttando entrambe le relazioni sopra:

\ \textrm{E}(R_{i})-R_{f}=\frac{\textrm{cov}(R_{i},R_{m})}{\textrm{var}(R_{m})}\left[\textrm{E}(R_{m})-R_{f}\right]

così che si è ottenuto il CAPM.