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Il modello tradizionale per spiegare la dinamica dell'iperinflazione dovuta al signoraggio si deve al contributo pionieristico di Phillip Cagan (1956). L'analisi che segue è tratta principalmente dal testo di Obstfeld e Rogoff e dal testo di David Romer. Poiché siamo interessati ai redditi derivanti dalla creazione di base monetaria, di seguito per "moneta" si intenderà sempre la "base monetaria".

 Contesto teorico

La domanda di moneta in termini reali sia definita nella forma di Keynes (1936) e Hicks (1937):

\frac{M_t^d}{P_t} = L\left(Y_t, i_{t + 1}\right)

dove

M_t^d\; è la domanda di moneta in termini nominali al tempo t\;
P_t\; è l'indice generale dei prezzi al tempo t\;
Y_t\; è il reddito al tempo t\;
i_{t + 1}\; è il tasso d'interesse nominale dal tempo t\; al tempo t + 1\;


Come consueto, la domanda di moneta in termini reali è funzione positiva del reddito e negativa del tasso d'interesse nominale. Infatti un aumento nel reddito fa aumentare la domanda di moneta per transazioni; un aumento del tasso d'interesse nominale causa invece un aumento nel costo-opportunità di tenere moneta.

Occorre osservare che sotto l'ipotesi di perfette aspettative razionali nel senso di John Fraser Muth (1961), la relazione tra tasso d'interesse nominale ed inflazione è la nota parità di Irving Fisher:

1 + i_{t + 1} = \left(1 + r_{t + 1}\right) \frac{E_t\left\{P_{t + 1}\right\}}{P_t}

dove

r_{t + 1}\; è il tasso d'interesse reale dal tempo t\; al tempo t + 1\;
E_t\left\{\cdot\right\}\; è l'operatore aspettative condizionato all'insieme di informazioni disponibili al tempo t\;
E_t\left\{P_{t + 1}\right\}\; è il valore atteso dell'indice generale dei prezzi al tempo t + 1\;
\frac{E_t\left\{P_{t + 1}\right\}}{P_t} è pertanto l'inflazione attesa al t\; per il tempo t + 1\;.

In un contesto caratterizzato da elevata inflazione, il tasso d'interesse reale può essere considerato a tutti gli effetti costante e trascurabile rispetto al tasso d'inflazione. Anche il reddito Y_t\; può essere trascurato per lo stesso motivo. Pertanto la domanda di moneta in termini reali può essere riscritta come

\frac{M_t^d}{P_t} = L\left(i_{t + 1}\right) = L\left[E_t\left\{\frac{P_{t + 1}}{P_t}\right\}\right]

Supponiamo pertanto che la domanda di moneta sia della forma

\frac{M_t^d}{P_t} = E_t\left\{\frac{P_{t + 1}}{P_t}\right\}^{-\eta}

dove \eta\; è la semielasticità della domanda di moneta reale rispetto all'inflazione attesa.

Passando ai logaritmi, assumendo che l'offerta di moneta sia esogenamente determinata dal governo ed imponendo la condizione di equilibrio M_t^d = M_t, l'equazione risultante può essere scritta come segue:

m_t - p_t = -\eta E_t\left\{ p_{t + 1} - p_t\right\}

dove le variabili in minuscolo rappresentano i logaritmi delle variabili in maiuscolo. Per risolvere l'equazione basta risolvere ricorsivamente il sistema

\left\{
\begin{matrix}
p_t = \frac{1}{1 + \eta}m_t + \frac{\eta}{1 + \eta} p_{t + 1} \\
\\
p_{t + 1} = \frac{1}{1 + \eta}m_{t + 1} + \frac{\eta}{1 + \eta} p_{t + 2}\\
\end{matrix}
\right.

da cui si ottiene

p_t = \frac{1}{1 + \eta} \left( m_t + \frac{\eta}{1 + \eta} m_{t + 1} \right) + \left(\frac{\eta}{1 + \eta}\right)^2 p_{t + 1}

Applicando lo stesso metodo ricorsivamente, si ottiene infine

p_t = \frac{1}{1 + \eta} \sum_{s = t}^{\infty} \left(\frac{\eta}{1 + \eta}\right)^{s - t} m_s + \lim_{T \to \infty} \left(\frac{\eta}{1 + \eta}\right)^T p_{t + T}

Escludendo l'ipotesi di bolle speculative autogenerantesi, occorre porre

\lim_{T \to \infty} \left(\frac{\eta}{1 + \eta}\right)^T p_{t + T} = 0

e pertanto l'indice dei prezzi sarà determinato dalla media pesata dei valori attesi delle infinite offerte monetarie del futuro:

p_t = \frac{1}{1 + \eta} \sum_{s = t}^{\infty} \left(\frac{\eta}{1 + \eta}\right)^{s - t} m_s

Occorre notare che i pesi sono caratterizzati da un fattore di discesa esponenziale e sommano ad uno:

\frac{1}{1 + \eta} \left[1 + \frac{\eta}{1 + \eta} + \left(\frac{\eta}{1 + \eta}\right)^2 + \ldots \right] = \frac{1}{1 + \eta} \left( \frac{1}{1 - \frac{\eta}{1 + \eta}} \right) = 1

Ciò implica la completa neutralità della moneta (il modello infatti non contiene rigidità nominali o illusione monetaria).

 I tentativi da parte del governo di massimizzare il signoraggio

Definiamo il signoraggio in tempo discreto come

S_t = \frac{M_t - M_{t - 1}}{P_t} = \frac{M_t - M_{t - 1}}{M_t} \frac{M_t}{P_t}

Ricordiamo dalla sezione precedente che l'emissione di moneta fa aumentare l'inflazione attesa e ciò abbatte la domanda di moneta da parte del pubblico poiché quando l'inflazione aumenta la moneta "scotta". Riprendiamo pertanto l'equilibrio sul mercato della moneta:

\frac{M_t}{P_t} = \left(\frac{P_{t + 1}}{P_t}\right)^{-\eta}

ed ipotizziamo che il tasso di crescita della moneta e tasso d'inflazione siano uguali e costanti:

1 + \mu = \frac{M_t}{M_{t - 1}} = \frac{P_t}{P_{t - 1}}

Il signoraggio reale può pertanto essere riscritto come

S_t = \left(1 - \frac{M_{t - 1}}{M_t}\right) \left(\frac{P_{t + 1}}{P_t}\right)^{-\eta} = \mu \left(1 + \mu\right)^{-\eta - 1}

che è una curva di Laffer. La funzione è infatti senz'altro concava. Pertanto, al fine di trovarne il massimo, bastano le condizioni del primo ordine:

\frac{\partial S}{\partial \mu} = \left(1 + \mu\right)^{-\eta - 1} - \mu \left(\eta + 1\right) \left(1 + \mu\right)^{-\eta - 2} = 0

Moltiplicando per \left(1 + \mu\right)^{\eta + 2} si ottiene:

\left(1 + \mu\right) - \mu \left(\eta + 1\right) = 1 + \mu - \eta \mu - \mu = 1 - \eta \mu = 0

Pertanto, la soluzione ottimale per il governo è:

\mu^{*} = \frac{1}{\eta}

cioè il tasso di crescita della moneta deve essere fissato pari al reciproco della semielasticità della domanda, che è esattamente la classica condizione di massimizzazione dei profitti del monopolista con costi marginali di produzione nulli (per una trattazione matematica vedi anche la voce sul monopolio).

 

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Ringrazio il giornalista Paolo Barnard per avermi fatto capire che la Teoria del Signoraggio è una Bufala

 

Ing. Fabio Sipolino